jueves, 29 de septiembre de 2016

¿QUÉ PASARÍA SI LA TIERRA TUVIERA UNA FORMA DISTINTA? (DE CUBO, TETRAEDRO…) (37776)

Ante nada, aunque nos podemos hacer una idea de cómo variará la gravedad sobre un objeto buscando sus ejes de simetría y su centro de masas, he encontrado esta herramienta bastante útil con la que podemos simular el campo eléctrico generado por el conjunto de cargas que podemos distribuir como querramos. O sea, que se pueden “dibujar” figuras bidimensionales con las cargas eléctricas que proporciona la página web para descubrir la forma aproximada del campo eléctrico que generarían.
¿Y qué tiene que ver la electricidad con la gravedad de un planeta con una forma rara?
Pues no, voz cursiva, la flapa sigue en el lugar que le corresponde. Lo que pasa es que la intensidad de un campo eléctrico, igual que la de un campo gravitatorio, aumenta y disminuye según el cuadrado de la distancia. O sea que, a efectos prácticos, la aplicación está simulando un campo que tiene el mismo comportamiento que un campo gravitatorio.
Bien, pues vamos a empezar por la situación más normal ... una Tierra con forma de cubo.
La siguiente imagen es una “simulación” de una sección del cubo hecha utilizando la página que les he comentado. La flecha roja señala la dirección en la que la fuerza gravitatoria tira del círculo naranja, según el punto de la superficie de nuestra figura en el que se encuentre.
De cara a las siguientes “simulaciones” que veremos, os recuerdo que los puntos en los que la flecha de la gravedad es perpendicular a la superficie son especialmente importantes porque señalan los lugares donde la gravedad tira de un objeto directamente hacia abajo, igual que lo hace sobre la Tierra. Es decir, que si nos teletransportaran de repente a uno de estos puntos, en principio no notaríamos nada especialmente extraño.
Como podemos ver en la imagen, la gravedad se comportaría como lo hacía en el caso de la Tierra plana a lo largo y ancho de cada una de las caras del cubo: en el centro de cada cara la gravedad tiraría de nosotros de manera perpendicular al suelo y, a medida que nos alejáramos hacia los bordes, la dirección de la gravedad formaría un ángulo cada vez más cerrado con el suelo.
Como resultado, el agua y el aire que contuviera un planeta en forma de cubo tenderían a fluir y acumularse en el centro de cada una de sus caras, igual que harían sobre una Tierra plana, con la única diferencia de que la cúpula de líquido o gas que se formaría no tendría una base perfectamente circular, sino que estaría ligeramente estirada hacia las esquinas por su gravedad.

Por este mismo motivo, caminar desde el centro de una de las caras del mundo cúbico hasta una de las aristas también produciría la sensación de estar subiendo por una cuesta cada vez más empinada, pese a que el terreno sobre el que nos encontráramos fuera totalmente plano. Pero, mientras en el caso de la Tierra plana podrías “escalar” hasta el canto del disco y, una vez allí, montarte sobre él y experimentar la gravedad de manera más o menos “normal”, al alcanzar una de las aristas del cubo y pasar a la siguiente cara, entonces te encontrarías ante un precipicio horizontal igual de peligroso que el que acabas de escalar.

A la izquierda, llegar al borde de un planeta en forma de disco. 
A la derecha, de uno en forma de cubo.
Si tuviéramos a nuestra disposición un suministro ilimitado de agua y paciencia, este comportamiento de la gravedad produciría nos permitiría presenciar otro fenómeno curioso.
Si vertiéramos agua sobre una de las caras del cubo hasta que la base del océano en forma de cúpula alcanzara los bordes, entonces el agua empezaría a rebasar por los lados, precipitándose hacia las caras contiguas y formando otros cuatro nuevos océanos en sus respectivos centros.
La geografía en un planeta en forma de cubo también adoptaría perfiles parecidos a los de una Tierra plana y, por tanto, cuanto más alejadas estuvieran las montañas del centro de cada una de las caras,más desparramadas por el suelo estarían.
Si nos diera por colonizar un planeta en forma de cubo, tan sólo podríamos construir edificios en los lugares donde la fuerza gravitatoria tirara de la estructura de manera perpendicular al suelo. Pero, claro, al contrario que en un planeta plano en forma de disco, un planeta cúbico no poseería ningún lugar parecido al canto del disco, donde la gravedad sería perpendicular al suelo a lo largo de todo su contorno.
En una Tierra cúbica los únicos lugares donde la gravedad tiraría de nuestros edificios hacia abajo serían los centros de cada cara y de las aristas.
 Esto significa que, por descarte, construir nuestros hogares en lo más profundo de una gigantesca cúpula oceánica sería la única manera que nos quedaría de llevar una vida “normal” en un planeta en forma de cubo.
Demos paso a la siguiente figura geométrica.
 la posibilidad de que la Tierra tuviera forma de tetraedro
En esta otra página se citan fragmentos de dos libros de 1875 y 1926 en los que se habla de esta idea, basada en el hecho de que, al fin y al cabo, los cristales a los que dan lugar los minerales suelen tener formas geométricas bien definidas aunque ocurran de manera natural y algunos de ellos incluso tienen forma de tetraedro.
Según esta hipótesis, la Tierra habría cristalizado en forma de tetraedro mientras se enfriaba a través de un proceso llamado “colapso tetraédrico“, un proceso que… Bueno, que no es más que una expresión sin ningún significado más allá de “por algún motivo adoptó forma de tetraedro“. Y, en teoría, esta idea estaba respaldada por el hecho de que en la Tierra existen “4 grandes océanos y 4 tierras emergidas“, igual que el número de caras y vértices de un tetraedro.
Sea como sea, en este escenario, se planteaba que nuestro planeta tenía esta pinta:
The Sunday Magazine, New York World, Oct. 24, 1926.
En líneas generales, nuestra “simulación” nos dice lo siguiente sobre la gravedad generada por una sección de este planeta:
Por extravagante que parezca la forma, en realidad la gravedad sobre su superficie seguiría teniendo un comportamiento parecido al de un cubo: actuaría de manera perpendicular al suelo en el centro de cada cara y cada arista, y lo haría en un ángulo cada vez más cerrado a medida que te alejaras de estos puntos.
O sea que estaríamos en las mismas: océanos en el centro de cada cara (esta vez en forma de cúpulas con una base vagamente triangular), montañas cada vez más chafadas a medida que nos dirigiéramos hacia los bordes y edificios que sólo se mantendría en pie en el centro de cada cara.
 La Tierra en forma de manzana mordida 
Eso sí: en vez de usar una iTierra, aproximaré la situación con una esfera con un cráter muy, muy grande…
… que en nuestra “simulación” se comportaría así:
Aunque es verdad que en este planeta existirían dos puntos donde la gravedad tiraría de nosotros en una dirección perfectamente perpendicular al suelo (en el centro del cráter y en el punto opuesto del planeta), la desviación de la dirección de la gravedad en la mayor parte del planeta sería tan mínima que, a efectos prácticos, posiblemente ni siquiera la notaríamos.
De hecho, como se puede ver en la siguiente imagen, la gravedad sólo se desviaría considerablemente de la perpendicular en las zonas muy cercanas al cráter.

Esto se debe a que, en términos de volumen, hay que hacerle un agujero muy grande al planeta para robarle un pedazo considerable de su masa y alterar su campo gravitatorio de una manera perceptible. Por ejemplo, un cráter del tamaño del que tiene el de la imagen (que más o menos tiene un tercio del diámetro del planeta), sólo se habría llevado por delante alrededor de un 2% de la masa de la Tierra.
Vaya, ¿entonces todo el agua del planeta no tendería a fluir hacia el agujero ni nada por el estilo?
No, la verdad es que no. De hecho, en la superficie que rodea el cráter, la fuerza gravitatoria aumentaría en la dirección opuesta al agujero, así que cualquier líquido tendería a alejarse de él en vez de acercarse.
Eso sí: no sé hasta qué punto la lluvia podría ir llenando el cráter poco a poco, ya que el agua no tendría manera de escapar de él una vez estuviera ahí metida y, por su situación, no estaría expuesta al sol durante mucho tiempo cada día. 
Tampoco sé qué temperaturas encontraríamos en el fondo de este cráter ni podría decir qué efecto tendría un cráter tan grande sobre el clima.
O sea que, en términos gravitatorios, la presencia de un gigantesco agujero en la Tierra no nos impediría llevar una vida normal.
La verdad es que es un caso bastante decepcionante.
Pues sí, sobre todo teniendo en cuenta la magnitud de la destrucción que sería necesaria para encontrarnos ante este escenario.
Pero, bueno, aquí está la Tierra con forma de diábolo para salvar la entrada. 
De nuevo, vamos con nuestra simulación:
Como podemos ver, en este planeta (por llamarlo de alguna manera) habría dos lugares en los que es muy obvio que la fuerza de la gravedad tiraría de nosotros en dirección perpendicular al suelo: el centro de la base de cada uno de los dos hemisferios que lo forman. Allí encontraremos lo de siempre, un océano y una atmósfera con forma de cúpula, montañas que se hacen más aplanadas con la distancia y bla, bla, bla.
Pero en esta forma hay un lugar donde ocurriría algo interesante: la zona central del diábolo.
Si nos colocáramos sobre la sección que se encuentra en el centro exacto del diábolo, entonces notaríamos la misma fuerza gravitatoria tirando de nosotros hacia cada lado, así que no nos veríamos arrastrados en ninguna dirección en concreto.
 Por otro lado, al encontrarnos por encima del eje de simetría de la figura, tendríamos más material bajo nuestros pies que por encima de ellos, así que la fuerza de la gravedad resultante nos mantendría pegados a la superficie del cilindro central del diábolo.
Pero esta normalidad sería frágil: en el momento en el que nos alejáramos un poco de la sección central, entonces la gravedad del hemisferio del diábolo más cercano tiraría de nosotros con más fuerza que el otro y, por tanto, nos acercaría hasta él.
Por otro lado, sobre la superficie curvada de cada uno de los hemisferios que forman el diábolo la gravedad apunta en dirección a la zona central del “planeta”. En otras palabras: cualquier líquido derramado en la superficie curvada de los hemisferios tendería a fluir hacia la zona central del diábolo. A su vez, en la zona central la gravedad tendería a dirigir las cosas hacia la base de cada hemisferio. Por tanto, existiría una zona entre la el centro del diábolo y cada uno de sus hemisferios donde la fuerza gravitatoria dirigiría las cosas.
O sea, que si asomáramos una manguera (encendida) por la cara plana de uno de los hemisferios, entonces el agua empezaría a fluir hacia la zona central del diábolo, donde se acumularía en el lugar donde el hemisferio se une con el cilindro central, formando un anillo líquido a su alrededor.
De la misma manera, cualquier líquido que se derramara en la sección central del diábolo tendería a fluir hacia estos “lagos” en forma de anillo.
La colonización del planeta Diábolo nos ofrecería una alternativa curiosa a la típica casa bajo una cúpula acuática que tan común se estaba volviendo en esta entrada: un hogar en la zona central del diábolo, donde no sólo nos mantendríamos secos, sino que además estaríamos rodeados por las dos mitades de un planeta a cada lado. 
Y, para rematarlo, siempre y cuando tomáramos las precauciones necesarias (como atarnos una cuerda a la cintura que estuviera bien fijada al suelo), siempre podríamos salir a darnos un baño en un lago vertical en forma de donut.

Observan la colisión de solitones en condensados de Bose-Einstein

Dibujo20140721 matter-wave soliton interactions - phase-dependent collisions - arxiv

Los solitones en estados condensados de Bose-Einstein se observaron por primera vez en 2002 usando átomos de litio, pero no se mostró que en colisiones mutuas recuperaran su forma previa. Ha costado 12 años, pero al final se ha logrado verificar este comportamiento predicho por la teoría.
Nadie dudaba de que algún día se lograría. Las aplicaciones potenciales son muchas, ya que cualquier dispositivo óptico basado en colisiones de solitones ópticos podrá inspirar otros en óptica coherente de átomos, interferometría atómica y láseres de átomos. El artículo técnico es Jason H.V. Nguyen et al., “Collisions of matter-wave solitons,”arXiv:1407.5087 [cond-mat.quant-gas], 18 Jul 2014. Sin lugar a dudas acabará publicado en Nature o Science.
Dibujo20140721 comparison between expansion of soliton and repulsive condensate - arxiv
Los solitones son ondas localizadas (como pulsos) que se propagan sin cambiar de forma y que recuperan su forma, amplitud y velocidad cuando interaccionan (colisionan) con otro solitón. Esta propiedad hace que los solitones se comporten como partículas, descubrimiento numérico de Zabusky y Kruskal en 1965, confirmado por la teoría de la integrabilidad pocos años más tarde.
Muchas ecuaciones de onda no lineales muestran solitones, como la ecuación no lineal de Schrödinger cúbica (NLSE), descubrimiento teórico de Zakharov y Shabat en 1972. Esta ecuación describe el comportamiento no lineal de pulsos en fibras ópticas (propuesta teórica de Hasegawa y Tappert en 1973). Mollenauer, Stolen y Gordon (Bell Labs, AT&T) los observaron en 1980. Pocos años más tarde se confirmó que en colisiones se comportaban como predecía la teoría.
Un condensado de Bose-Einstein es un estado de la materia a muy baja temperatura en el que un gas de átomos se coloca en su nivel de energía más bajo, siendo todos ellos descritos por una única función de onda cuántica colectiva. Se observó por primera vez en 1995 por Cornell, Wieman y Ketterle al enfriar átomos de sodio a menos de una millonésima de Kelvin por encima del cero absoluto de temperaturas.
La ecuación no lineal de Schrödinger cúbica describe de forma semiclásica los condensados de Bose-Einstein si se añade un potencial que describa la trampa que atrapa a dichos átomos. Por ello en ellos se pueden observar solitones, llamados “solitones de materia” (matter-wave solitons) porque están formados por átomos. Se logró en el año 2002 y desde entonces se han estudiado sus propiedades tanto de forma teórica (mediante métodos numéricos) como experimental. Sin embargo, hasta ahora no se había podido observar sus colisiones mutuas.
Dibujo20140721 phase-dependent collisional dynamics - solitons in bec - arxiv
Como predice la teoría, el resultado de las colisiones entre solitones (brillantes) depende de su fase relativa y del número de átomos que los forman; ambos parámetros alteran las fuerzas entre ellos que pueden ser atractivas o repulsivas. En los nuevos experimentos se han utilizado átomos de litio-7, con lo que las fuerzas efectivas entre los solitones son atractivas. 
Por ello, para ciertas fases relativas los solitones se aniquilan entre sí (figura de la izquierda), se unen formando un único solitón (figura del centro), o se ponen a oscilar cruzándose múltiples veces (figura de la derecha).


Detener la luz en un condensado de Bose-Einstein de átomos de rubidio

dibujo20160929-stationary-light-results-from-dynamical-observations-of-self-stabilizing-stationary-light-nphys3901-f3

La física danesa Lene V. Hau es firme candidata al Premio Nobel de Física. En 1999 redujo la velocidad de luz en un condensado de Bose–Einstein a solo 60 km/h (17 m/s). En 2013 logró detener la luz (reducir su velocidad de grupo a cero km/h). Se publica en Nature Physics un nuevo artículo en esta línea, que logra detener la luz en una nube de átomos de Rubidio-87 ultraenfriado a unos 100 nK controlando las ondas de espines en dicha nube. La aplicación más prometedora de esta técnica es el almacenamiento cuántico de información en los futuros ordenadores cuánticos basados en tecnologías fotónicas.
La clave es la llamada transparencia inducida electromagnéticamente (EIT) que produce un efecto no lineal muy fuerte. En concreto una interacción entre pares de fotones mediada por la nube de átomos. Los pulsos de luz interaccionan con los átomos que a su vez interaccionan con la luz. Como resultado el pulso de luz adquiere una estado estacionario autoestabilizado cuya velocidad de grupo es cero. Este resultado se interpreta como detener la luz.
El artículo es J. L. Everett, G. T. Campbell, …, B. C. Buchler, “Dynamical observations of self-stabilizing stationary light,” Nature Physics (26 Sep 2016), doi: 10.1038/nphys3901. A nivel divulgativo recomiendo leer a Xhaju, “Transparencia inducida electromagnéticamente”, (1/2) Scientia potentia est, 09 Sep 2013, y (2/2) Scientia potentia est, 01 Oct 2013.
dibujo20160929-experimental-schematic-slow-light-pulse-generation-ensemble-of-cold-87-rb-atoms-nphys3901-f2
Esta figura muestra el esquema experimental. El condensado de Bose–Einstein de átomos de rubidio se encuentra dentro de una trampa magnetoóptica elongada. Gracias una gradiente en dicho campo magnético se inducen ondas de espín en el condensado. Los pulsos de prueba permiten detectar dichas ondas de espín en sendos detectores D1 y D2. La cámara de vídeo CCD toma imágenes del pulso óptico mientras atraviesa el condensado para verificar que se logra detenerlos.
dibujo20160929-the-simplified-level-scheme-and-theoretical-predictions-nphys3901-f1
La interacción entre la luz y los átomos se ilustra en esta figura. Hay dos estados hiperfinos, |1> y |2>, que están acoplados a través de dos transiciones Raman a un tercer estado excitado |3>. El acoplamiento de los pulsos ópticos es débil con la transición |1>→|3> y fuerte con la transición |2>→|3>. Ambas transiciones Raman están en resonancia con la transición electrónica |1>→|2>. La coherencia atómica en esta transición permite manipular las ondas de spín en el condensado. Estas ondas de espín contrapropagantes son las que permiten detener la luz de forma efectiva mientras atraviesa el condensado.
La ventaja del nuevo método para detener la luz publicado en Nature Physics es que el control de las ondas de espín permite controlar la distribución espacial de la luz atrapada en el condensado. 
Gracias a ello se podrán explotar diferentes efectos ópticos no lineales, que incluso podrían permitir amplificar la luz estacionaria.
 Así se podrán explotar sus propiedades cuánticas en muchas aplicaciones, en especial, en el futuro desarrollo de memorias cuánticas completamente ópticas. Un futuro plausible, aunque, no nos engañemos, aún lejano.


Mordedura


Eras, tan desnuda, el alimento
de la carne y el trigo,
ayuno del amor con que persigo
el pan dominical del sacramento;
bacanal de tu aliento,
redondo bebedero de tu ombligo,
tan hambre de mis besos, tan conmigo,
tan roja provisión de mi sustento.
Festín de piel morena,
frugal voracidad para la cena
de blando fatalismo;
herida, dentellada, mordedura,
carnal fruta madura,
bocado de febril canibalismo. 

Del libro Oceanario

Lejos


Y vamos otoñando de tristeza,
los dos en un planeta diferente, 
tú, de verde fulgor, resplandeciente,
y yo que voy mudando la corteza.
La rosa decolora de firmeza
y el blanco del jazmín se vuelve ausente;
de noche soy un rio transparente
que surca el horizonte de tu pieza.
Cada vez más difusa y más lejana,
rubor que en la mañana
diluye en amarillo sus reflejos.
Nada queda de ti, doliente y poca,
dos besos en la boca
y otra lluvia, quizás, cayendo lejos. 

Del libro Oceanario.

lunes, 26 de septiembre de 2016

La correlación entre materia bariónica y las curvas de rotación galáctica (37769)

dibujo20160923-centripetal-acceleration-in-galaxy-rotation-curves-against-observed-distribution-of-baryons

La materia (bariónica) se concentra en el centro de los halos de materia oscura de las galaxias espirales. Por tanto, la velocidad radial de estas galaxias debe estar correlacionada con la presencia de dicha materia bariónica. Un nuevo artículo ha determinado dicha correlación con precisión, obteniendo el resultado esperado debido a la presencia de la materia oscura. Sin embargo, el autor principal de dicho artículo, Stacy S. McGaugh, defensor de las ideas MOND, interpreta su resultado en otro sentido. En su opinión, su resultado apoya a las ideas MOND y está en contra de la presencia de materia oscura en dichas galaxias. Como no podía ser otra forma el propio Mordehai Milgrom reafirma dicha opinión.
Algunos medios se han hecho eco de la opinión de McGaugh y Milgrom, afirmando sin pudor que su interpretación a favor de MOND es la única posible. Pero no nos dejemos engañar por el sesgo de confirmación. En rigor el resultado es una correlación que se deduce de la forma estándar de las curvas de rotación galáctica y no apoya ninguna teoría concreta que las explique. Si opinas que éstas son resultado de la materia oscura, o si opinas que éstas son resultado de MOND, no hay nada en el resultado observacional que pueda discernir entre ambas opiniones. Hay que tener mucho cuidado con la interpretación de estos resultados y siempre hay que ponerlos en contexto.
El nuevo artículo es Stacy S. McGaugh, Federico Lelli, Jim Schombert, “The Radial Acceleration Relation in Rotationally Supported Galaxies,” arXiv:1609.05917 [astro-ph.GA]; el artículo ha sido aceptado en Physical Review Letters porque no interpreta la correlación observada (si los autores hubieran afirmado que apoya a MOND habría sido rechazado). Sin embargo, Mordehai Milgrom, “MOND impact of the recently updated mass-discrepancy-acceleration relation,” arXiv:1609.06642 [astro-ph.GA], y el propio Stacy S. McGaugh en los medios, cuando les han preguntado, afirman sin pudor que su resultado descarta la presencia de materia oscura en el halo galáctico y que Vera Rubin no merece un premio Nobel de Física.
A los medios, y al público en general, les encantan los artículos en contra de la materia oscura. Buena prueba es “Acceleration relation found among spiral and irregular galaxies challenges current understanding of dark matter,” Phys.Org, 21 Sep 2016, noticia basada en la nota de prensa de la Universidad donde trabaja McGaugh, “In rotating galaxies, distribution of normal matter precisely determines gravitational acceleration,” The Daily, Case Western Reserve University, 21 Sep 2016.
dibujo20160923-examples-of-mass-models-and-rotation-curves-for-individual-galaxies
Francis, eres un aguafiestas. Seguro que alguno de vosotros lo habrá pensado. Con lo maravilloso que sería que la idea MOND, porque la teoría se llama TeVeS, desbancara a la materia oscura galáctica y Milgrom obtuviera el premio Nobel de Física que le corresponde a Rubin. Pero, lo siento, creo que no debo engañaros (aunque el que se quiera engañar, que se engañe). McGaugh lleva años olvidando que MOND no funciona y afirmando a los cuatro vientos que la materia oscura galáctica no existe. Te recomiendo leer, por ejemplo, a Sean Carroll, “Dark Matter: Just Fine, Thanks,” Preposterous Universe, 26 Feb 2011, quien ha discutido largo y tendido con McGaugh, por ejemplo, Sean Carroll, “Dark Matter vs. Modified Gravity: A Trialogue,” Preposterous Universe, 09 May 2012. Pero no hay manera, McGaugh está cegado. Debe acompañar a Milgrom cuando reciba el premio Nobel y todo el que no lo sepa es su enemigo. Su sesgo de confirmación le lleva cegando desde hace años.
dibujo20160923-distribution-of-sparc-galaxies-in-luminosity-and-effective-surface-brightness
Dejemos a un lado la prensa rosa y vayamos al grano. Una manera de estimar la materia bariónica que contiene una galaxia es usar fotometría en el infrarrojo cercano para observar el gas interstelar ionizado en lugar de las estrellas. McGaugh y sus colegas han usado la base de datos del Telescopio Espacial Spitzer de la NASA, llamada SPARC (Spitzer Photometry and Accurate Rotation Curves). Contiene 175 galaxias de todos los tipos y morfologías posibles. McGaugh et al. han seleccionado 153 de estas galaxias con datos claros para la línea de 21 cm y han estudiado 2693 datos relativos a sus curvas de rotación galáctica.
Su resultado es una correlación entre dos magnitudes. En el eje de absicas, log(gbar), es la derivada del potencial gravitacional asociado al gas galáctico respecto a la distancia radial. En el eje de ordenadas, log(gobs), como es usual, aplican el teorema del virial y estiman la derivada del potencial gravitacional total usando el cociente de la velocidad al cuadrado entre la distancia, es decir, una medida de la forma de la curva de rotación galáctica. El resultado, como es de esperar, muestra una clara correlación. Si no se observara sería un descubrimiento mayúsculo, pues invalidaría nuestro conocimiento sobre la gravitación.
¿Por qué McGaugh interpreta este resultado en contra de la materia oscura? Por su sesgo de confirmación. ¿Cómo es posible que la materia oscura no aparezca de forma explícita en la curva de McGaugh? Porque la materia bariónica se concentra en el centro del halo galáctico de materia oscura, luego la curva de rotación asociada a la materia (visible) de la galaxia está correlacionada con la materia bariónica (y con la materia total). Hay que recordar que las galaxias son muy pequeñas comparadas con el tamaño de su halo galáctico y que las curvas de rotación galáctica sólo exploran la región de materia bariónica de las galaxias. ¿De verdad de verdad que McGaugh está cegado? Qué quieres que te diga, cómo quieres que te lo diga. En rigor el resultado depende sólo de la curva de rotación galáctica. Simplemente.
En resumen, los amantes de MOND y admiradores de Milgrom que lean esto dirán que la mula Francis vuelve a meter la pata hasta el fondo como la ciencia demostrará dentro de poco. Al final tendré que tragarme mis palabras. Los aficionados a la ciencia que admiran la diferencia entre correlacionar datos e interpretar dichas correlaciones entenderán mis argumentos. 
A buen entendedor pocas palabras. 
No tengo nada más que decir sobre este tema.


Se observan por primera vez átomos mesónicos tipo pión-kaón

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Dos mesones cargados, un pión y un kaón de cargas opuestas, pueden formar un átomo exótico (llamado átomo mesónico). La Colaboración DIRAC en el CERN bombardea con protones de 24 GeV blancos de níquel o platino. En total ha observado 349±62 átomos πK, tanto πK+ como π+K, lo que implica una confianza estadística de 5,6 sigmas y permite proclamar un descubrimiento. En rigor lo único que se observa es un exceso en la producción de pares pión-kaón (πK). Pero que está de acuerdo con las predicciones teóricas para la formación de un átomo mesónico, que es metaestable y se desintegra rápidamente.
En el año 2007 la Colaboración DIRAC observó 173 ± 54 átomos πK usando platino como blanco, lo que implica una confianza estadística de 3,2 sigmas. Entre 2008 y 2010 se detectaron 178 ± 49 átomos πK usando níquel como blanco, lo que implica 3,6 sigmas. El nuevo resultado combina ambos resultados (Ni y Pt), junto a nuevas técnicas de análisis, para obtener 5,6 sigmas.
La proclamación definitiva del descubrimiento de un átomo exótico formado por mesones πK se publica en DIRAC Collaboration, “Observation of πK+ and π+K Atoms,” Phys. Rev. Lett. 117: 112001 (08 Sep 2016), doi: 10.1103/PhysRevLett.117.112001,arXiv:1605.06103 [hep-ex]. Más información divulgativa en Michael Schirber, “Strange Mesonic Atoms Detected,” APS Physics, 08 Sep 2016.
dibujo20160923-dirac-experiment-setup-cern-prl-dirac-collaboration
Recuerda que los mesones son hadrones formados por un par quark-antiquark ligado con gluones (en rigor, una sopa de quarks y gluones dominada por la presencia de un par quark-antiquark de valencia). Los piones tienen un quark arriba (up) y un antiquark abajo (down), o viceversa, y los kaones tienen un quark arriba (up) y un antiquark extraño (strange), o viceversa. El experimento DIRAC también ha observado 436 ± 61 átomos mesónicos pión-pión (llamados pionio o pionium), lo que implica una observación a 7,0 sigmas. Estos átomos son metaestables y se desintegran rápidamente, siendo su vida media de 3×10−15 segundos (aunque en ciertos algunos parecen tener una vida más largo de unos 10−11 s). Más información en DIRAC Collaboration, “First observation of long-lived π+π atoms,” arXiv:1508.04712 [hep-ex].

dibujo20160923-experimental-result-dirac-collaboratoin-prl
Esta figura muestra el exceso observado a 5,6 sigmas para los átomos πK. Todavía no se ha publicado un análisis detallado de su vida media (artículo que se espera para los próximos meses). 
Por supuesto, para su interpretación correcta se requiere el uso de modelos teóricos, que por fortuna han sido desarrollados en los últimos lustros.
http://francis.naukas.com/

jueves, 22 de septiembre de 2016

¿Sueñan los babilonios con multiplicaciones eléctricas?

Uno de los temas presentes en la asignatura de matemáticas en la Enseñanza Secundaria es el de las identidades, o igualdades, notables, es decir, las expresiones algebraicas del cuadrado de la suma y de la resta, así como del producto de la suma por la resta, que se utilizan para el estudio de las ecuaciones algebraicas y en la resolución de problemas matemáticos.
imagen 1
Identidades notables

Estas expresiones algebraicas suelen causar bastante rechazo entre los estudiantes, quienes las estudian de memoria a pesar de lo sencillo de su demostración, y que además no entienden el motivo de estudiar algo que no tiene ninguna utilidad aparente, más allá del temario de clase.
Diagrama geométrico asociado a la expresión algebraica del cuadrado de la suma
Diagrama geométrico asociado a la expresión algebraica del cuadrado de la suma

El primer documento histórico en el que se recogen las dos expresiones notables para el cuadrado de la suma y de la resta es el tratado Los Elementos del matemático griego Euclides de Alejandría (aprox. 325-265 a.c.), en concreto, las Proposiciones 4 y 7 del Libro II. Por supuesto, no se recogen como las expresiones algebraicas que nosotros utilizamos en la actualidad, sino que están expresadas en un lenguaje normal. En concreto, el texto de la Proposición 4 dice lo siguiente (acompañado de un diagrama similar al anterior, pero sin las letras): “Si una línea recta es dividida en dos partes, el cuadrado de toda la línea es igual a los cuadrados de las partes, junto con dos veces el rectángulo comprendido por sus partes”.
Página de la edición ilustrada de Gabriel Byrne de 1847, con diagramas tricolores azul, rojo y amarillo, de Los Elementos de Euclides, que contiene la Proposición 4 con la identidad notable de la suma, y su demostración
Página de la edición ilustrada de Gabriel Byrne de 1847, con diagramas tricolores azul, rojo y amarillo, de Los Elementos de Euclides, que contiene la Proposición 4 con la identidad notable de la suma, y su demostración

Una primera aplicación de la Proposición 4 de Los Elementos, la expresión algebraica del cuadrado de la suma, fue un método para aproximar la raíz cuadrada de un número, conocida como fórmula de Herón, puesto que fue el matemático griego Herón de Alejandría (aprox. 10-70 d.c.) quien describió dicho método por primera vez en su obraMétrica.
Dado un número N, del que queremos conocer su raíz cuadrada, y una primera aproximación a1 de la raíz cuadrada del mismo, entonces haciendo uso de la expresión algebraica del cuadrado de la suma se puede probar la fórmula de Herón que nos dice que una segunda aproximación de la raíz de N será
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Este es un proceso iterativo, ya que dada la aproximación a2 de la raíz cuadrada de N, se puede volver a utilizar la fórmula de Herón para obtener una nueva aproximación ay así se puede continuar hasta la que se considere la aproximación deseada. Por ejemplo, si queremos aproximar el valor de la raíz de 2 y empezamos con el valor a1 = 1, entonces al aplicar la fórmula de Herón se obtienen las aproximaciones a2 = 3/2 = 1,5, a3= 17/12 = 1,4166…, a4 = 577/408 = 1,414215…, que es una buena aproximación de la raíz de 2.
Sin embargo, los babilonios (alrededor del año 2.000 a.c.) ya conocían las identidades notables del cuadrado de la suma y de la resta. Como se sabe a través de las tablillas babilónicas encontradas, las utilizaron para resolver algunos problemas cuadráticos, como el problema de áreas (de la tablilla cuneiforme BM 13901) que Vicente Meavilla recoge en su libro Eso no estaba en mi libro de matemáticas (2012), o para aproximar la raíz cuadrada de un número, método que conocían con anterioridad a Herón de Alejandría.
Pero avancemos un poco más. A partir de las identidades notables de la suma y de la resta, se puede demostrar fácilmente las siguientes identidades algebraicas.
 Identidades algebraicas para el producto de dos números

Identidades algebraicas para el producto de dos números
Una de las cuestiones que hacen interesantes a estas identidades algebraicas es que fueron utilizadas por los babilonios, hace unos cuatro mil años, para simplificar las multiplicaciones.
Para poder comprender el motivo por el cual las identidades anteriores, especialmente la primera, hacían más sencillas las multiplicaciones para los babilonios (aunque de hecho también es un método válido para nosotros, para nuestro algoritmo de multiplicación), vamos a recordar el sistema de numeración babilónico, comparándolo con el que utilizamos en la actualidad con el fin de facilitar la comprensión de la explicación.
El sistema de numeración babilónico (al menos el que Georges Ifrah llama sistema babilónico erudito) era un sistema posicional sexagesimal, es decir, cuya base era 60, por lo que no era muy diferente del nuestro, que es un sistema de numeración posicional con base 10.
La primera cuestión a tener en cuenta es que nuestro sistema de numeración, el sistema indo-arábigo, es decimal, luego necesitamos 10 símbolos básicos, las 10 cifras básicas 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, mientras que el sistema babilónico era sexagesimal y necesitaban 60 cifras (durante mucho tiempo no dispusieron del 0 y dejaban un hueco donde debería ir esta cifra, lo cual daba lugar a confusión, aunque ese es un tema que dejaremos para otra ocasión). Las 59 cifras del sistema de numeración babilónico (si excluimos el cero) no eran todas diferentes, como en nuestro sistema, sino que su notación se basaba en la acumulación de unidades, que eran los clavos verticales, y decenas, que eran espigas, como se ve en la siguiente imagen. Cuando se empezó a representar el cero se hizo como un doble clavo inclinado o una doble espiga, con un tamaño más pequeño que el de las otras cifras.
Tabla explicativa de la representación de las 59 cifras básicas del sistema de numeración babilónico

Tabla explicativa de la representación de las 59 cifras básicas del sistema de numeración babilónico
Además, el sistema de numeración babilónico erudito (llamado así por Ifrah por haber sido introducido por los matemáticos y astrónomos babilónicos) era posicional, como nuestro sistema de numeración decimal.
Así, el número que nosotros representamos como 1.859 porque su valor es
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los babilonios lo representaban (como se ve en la siguiente imagen) como tres espigas, es decir, 30, seguido de cinco espigas y nueve clavos, es decir, 59, puesto que 1.859 = 30 x 60 + 59 (para no tener que dibujar los clavos y las espigas, diremos que es el número [30;59] en el sistema babilónico).
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La siguiente imagen nos muestra dos ejemplos más que aparecen en la tablilla (de arcilla) mencionada anteriormente, BM13901 (que se conserva en el Museo Británico de Londres), y que es uno de los textos matemáticos babilónicos más antiguos. Los números 64.000, representado [17; 46; 40], y 424.000, representado [1; 57; 46; 40].
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A continuación, hablemos de las multiplicaciones. Como el sistema de numeración de los babilonios es posicional, como el nuestro, repasemos nuestro algoritmo de multiplicación y las cuestiones que son relevantes en el mismo.
Veamos la multiplicación, mediante el algoritmo que hemos aprendido en la escuela y que utilizamos siempre que no tenemos una calculadora a mano (lo cual es prácticamente imposible en la actualidad debido a que todos nuestros móviles disponen de una calculadora), de los números 34.725 y 8.316.
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La base en la que se apoya este algoritmo de multiplicación, al igual que otros algoritmos para sistemas posicionales como el “algoritmo de la celosía” que utilizaban los árabes, es el conocimiento de las tablas de multiplicar de las cifras del sistema de numeración. Por este motivo, en la escuela nos enseñan desde pequeños las tablas de multiplicar, del 1 al 9 (bueno, la del 0 también, aunque es trivial).
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Tablas de multiplicar para nuestro sistema de numeración decimal, salvo la del cero que es trivial

En consecuencia, los babilonios, para poder realizar una multiplicación, con el algoritmo que ellos utilizasen, tenían que conocer las tablas de multiplicar de los números entre 1 y 59 (y la del 0, aunque esa es trivial). La tabla de multiplicar de cada uno de estos números consistía en multiplicar, a priori, dicho número por las 59 cifras básicas, del 1 al 59. Aunque realmente cada tabla solo incluía la multiplicación por los 20 primeros números y 30, 40, 50, lo que permitía conocer al usuario el resto utilizando la propiedad distributiva (25 x 47 = 25 x (7 + 40) = 25 x 7 + 25 x 40), aún así, sigue siendo mucha información. Los babilonios no se aprendían las tablas de multiplicar de memoria, sino que las escribían en pequeñas tablillas de arcilla (las medidas de la tablilla de arcilla siguiente, con la tabla de multiplicar del 25, son 5,8 cm x 4,5 cm x 2,2 cm), pero necesitaban 59 tablillas para poder multiplicar. Y 59 son muchas tablillas.
Por ejemplo, la tablilla de arcilla con la tabla del 25 (que se explica en la siguiente imagen) consistía en una columna con los números que multiplicaban al 25, del 1 al 20, más 30, 40 y 50, y otra columna con los resultados de multiplicarlos por 25.
Esquema y explicación del anverso y reverso de la tablilla de arcilla que contiene la tabla de multiplicar del 25, encontrada en Susa (Irán), del libro Historia universal de las cifras de Georges Ifrah
Esquema y explicación del anverso y reverso de la tablilla de arcilla que contiene la tabla de multiplicar del 25, encontrada en Susa (Irán), del libro “Historia universal de las cifras” de Georges Ifrah

 Anverso de la tablilla con la tabla de multiplicar del 25, Susa (Irán), del siglo XVII a.c., y anverso y reverso de la tablilla UM 29-15-503 de la Universidad de Pensilvania con la tabla del 30
Anverso de la tablilla con la tabla de multiplicar del 25, Susa (Irán), del siglo XVII a.c., y anverso y reverso de la tablilla UM 29-15-503 de la Universidad de Pensilvania con la tabla del 30

Al ser el sistema de numeración babilónico posicional, los babilonios necesitaban las tablas de multiplicar de las 60 cifras básicas, si añadimos el 0, para multiplicar. El historiador de las matemáticas Georges Ifrah realiza una hipótesis de lo que debió de ser el ábaco babilónico y cómo se utilizaba para multiplicar. Veamos el sencillo ejemplo, la multiplicación del número de una cifra (en el sistema babilónico) 25 por uno de dos cifras [11; 32] (es decir, 11 x 60 + 32 = 692) que ofrece en su texto Historia universal de las cifras.
El ábaco babilónico consistiría en una tablilla de arcilla fresca con cuatro columnas. La columna de la derecha sería en la que se indicase el número, o los números, a multiplicar. En el ejemplo, se escribe el número al que vamos a multiplicar por 25, el número [11; 32]. Las otras tres columnas de derecha a izquierda indican las unidades, las sesentenas, que son los múltiplos de 60, y por último los múltiplos de 602 = 3.600.
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Para empezar, buscamos en la tabla del 25 la multiplicación por 2 (pensando en el 32), y colocamos su resultado, 50, en la columna de las unidades. Después borramos el 2, y buscamos en la tabla de multiplicar la multiplicación de 25 por 30, que es [12; 30], y colocamos el resultado en la tablilla, 12 en las decenas y 30 en las unidades. Y después borramos el 30.
Ahora en la columna de la derecha nos queda el 11, que se corresponde con las sesentenas del número por el que estamos multiplicando. Buscamos en la tabla del 25 el producto de 25 por 11, que es [4; 35], y colocamos un 4 en la columna de los múltiplos de 3.600 y 35 en las sesentenas. Y se borra el 11.
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Por último, solamente queda reagrupar los clavos y espigas. Así, 6 de las espigas de la columna de las unidades las borramos, ya que tienen el valor de 60, y añadimos una espiga en la columna de los múltiplos de 60. El resultado es [4; 48; 20] (= 4 x 3.600 + 48 x 60 + 20 = 17.300).
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Si lo pensamos bien, esta multiplicación nos recuerda a cuando nos enseñan a multiplicar horas, minutos y segundos, ya que estas medidas temporales son restos del sistema de numeración babilónico.
La cuestión es que los babilonios necesitaban las 59 tablas de multiplicar, con toda la información que ello conlleva, para poder realizar una multiplicación. Sin embargo, se dieron cuenta de que si utilizaban cualquiera de las identidades algebraicas anteriores para el producto de dos números, en particular la conocida como la fórmula de los cuartos de cuadrados,
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la multiplicación se transformaba en una suma (y resta) seguida de elevar al cuadrado, y la división por 4 (hacer dos veces la mitad). De esta forma, no se necesitaban todas las tablas de multiplicar, solamente tablas con los cuadrados de los números (de hecho, los babilonios realizaron tablillas con los cuadrados de los números, como una tablilla encontrada en Senkerah en 1854, datada alrededor del 2.000 a.c., y que recoge los cuadrados de los 59 primeros números). Por ejemplo, con los cuadrados de los números hasta el número 118 podían obtener toda la información de las 59 tablas de multiplicar de sus 59 cifras, y de hecho más multiplicaciones no contenidas en las tablas, como 78 x 31 o 65 x 53.
Imagen del libro "The Seven Great Monarchies of the Ancient Eastern World", de G. Rawlinson, que contiene un extracto con los cuadrados de los números del 43 al 60 de la tablilla de Senkerah
Imagen del libro “The Seven Great Monarchies of the Ancient Eastern World”, de G. Rawlinson, que contiene un extracto con los cuadrados de los números del 43 al 60 de la tablilla de Senkerah

Más aún, el número de operaciones para realizar la multiplicación se reduce de esta forma drásticamente, puesto que en la multiplicación posicional hay tantas multiplicaciones intermedias como el producto de las cifras de los números (en el ejemplo de la multiplicación decimal serían 20 pequeñas multiplicaciones) a lo que hay que añadir la suma de las “!llevadas”, mientras que en la fórmula de los cuartos de cuadrados solo hay que sumar, restar, elevar al cuadrado y dividir por 4. En consecuencia, la operación multiplicativa, con la fórmula de los cuartos de cuadrados, se realiza con mayor rapidez y al tener menos operaciones se evitan errores intermedios.
Veamos con algunos ejemplos, en nuestro sistema de numeración decimal, como funciona la fórmula de los cuartos de cuadrados.
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Con posterioridad a los babilonios, la fórmula de los cuartos de cuadrados ha seguido siendo utilizada para simplificar las multiplicaciones. Así, en 1690 Hiob Ludolf publicó una tabla con los cuadrados de los números hasta cien mil, aunque la primera tabla con los cuartos de los cuadrados (lo cual simplificaba muchísimo más la operación, puesto que ni siquiera había que dividir por 4) fue publicada en 1817 por Antoine Voisin,Tablas de las multiplicaciones o logaritmos de números desde 1 hasta 20.000. Como explica Édouard Lucas en sus Recreaciones Matemáticas, Voisin utiliza la palabra “logaritmo” para expresar realmente un cuarto de cuadrado. Y se continuaron publicando tablas de cuartos de cuadrado, hasta 100.000 por Samuel Laundry en 1856 o hasta 200.000 por Joseph Blater en 1888, entre otros.
Doble página de la tabla de los cuartos de cuadrado de Antoine Voisin, entre los números 11.601 y 11.900
Doble página de la tabla de los cuartos de cuadrado de Antoine Voisin, entre los números 11.601 y 11.900

El matemático inglés James Joseph Sylvester (1814-1897) publicó un artículo con el título On Multiplication by aid of a Table of Single Entry en 1854 generalizando la fórmula de cuadrados al producto de n cantidades mediante la suma de potencias con exponente n. En la introducción menciona, refiriéndose a la fórmula de los cuatros de cuadrado, que “una tabla de una sola entrada, suficientemente extensa, servirá para dar el producto de cualesquiera dos números con tan solo la ayuda del proceso de suma y resta, justo como en el caso de la computación logarítmica, pero con la ventaja sobre ese método de la precisión perfecta en el resultado, y el número de búsquedas requeridas para cada operación siendo tan solo de dos…
Las tablas de cuartos de cuadrado se continuaron publicando hasta 1920, pero en la era de los ordenadores ya no tenían sentido. Sin embargo, la fórmula de los cuartos de cuadrados no desapareció. A partir de la década de los años 1950 se utilizó para los ordenadores analógicos, y posteriormente se han publicado propuestas para los ordenadores digitales.
El ordenador analógico GTE EA-22, construido en Alemania a finales de la década de 1960 y principios de 1970, contaba con un multiplicador doble, como el que se muestra en la imagen, que funcionaba utilizando la fórmula de los cuartos de cuadrados
El ordenador analógico GTE EA-22, construido en Alemania a finales de la década de 1960 y principios de 1970, contaba con un multiplicador doble, como el que se muestra en la imagen, que funcionaba utilizando la fórmula de los cuartos de cuadrados

Bibliografía
1.- Vicente Meavilla, Eso no estaba en mi libro de matemáticas, Almuzara, 2012.
2.- Thomas L. Heat, A History of Greek Mathematics, Clarendon Press, 1921.
3.- J. J. O’Connor,E. F. Robertson, An overview of Babilonian mathematics [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Babylonian_mathematics.html]
4.- J. L. Coolidge, The Story of the Binomial TheoremThe American Mathematical Monthly 56, No. 3, p. 147-157, 1949.
5.- Georges Ifrah, Historia universal de las cifras, Espasa, 2002.
6.- Édouard Lucas, Recreaciones Matemáticas 4, Nivola, 2008.
7.- J. J. Sylvester, On Multiplication by aid of a Table of Single EntryThe Assurance Magazine and Journal of the Institute of Actuaries, Volume 4, Issue 3, p. 236-238, 1854.
8.- David McFarland, Quarter Tables Revisited: Earlier Tables, Division of Labor in Table Construction, and Later Implementations in Analog ComputersCalifornia Center for Population Research, On-Line Working Paper Series, 2007.